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フィボナッチ数列の計算量について

フィボナッチ数列の計算量について
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ハーモニックパターンの基本と構造から知ることから始めよう

ハーモニックパターン基礎

ハーモニックパターン

ハーモニックパターンとは何か

ハーモニックパターン例

ハーモニックパターンの特徴とメリット

特徴1 フィボナッチ比率を使う

フィボナッチ比率は フィボナッチ数列の中に現れる不思議な比率のことで、
具体的には0.382、0.618、1.618などの比率です。
フィボナッチ数列は向日葵の花やオウム貝を例にするように自然界のものにたくさん見られます。

特徴2 幾何学模様

特徴3 順張り&逆張り両方とも狙える

ハーモニックパターン順張り逆張り

特徴4 リスクリワードが格段に良い

ハーモニックパターン、リスクリワード良い

ハーモニックパターンは、基本4種類、派生9種類

ハーモニックパターンは、基本のパターンである
バット、ガートレー、バタフライ、クラブのクラシックパターン4種類

変形ハーモニックパターンのオルトバット、ディープクラブ
特殊ハーモニックパターンの5-0パターン、スリードライブ
新種ハーモニックパターンのサイファー、ネンスター、シャーク、ブラックスワン、ホワイトスワン
などの派生パターン9種類 があります。

とりあえず、やれ!!

中年になったしがない男(おっさん)のダイエット日記。復活を祈ってとりあえず頑張るブログです。がんばれ、オレ。負けるな、オレ。

★【自然界にも】フィボナッチ数【存在する?】★


とりあえず、やれ!! とりあえず、やれ!!

ディスカウント二木→冷やし中華レモン風味 168円、ざるらーめんごま味 168円、そば 100円×2、そうめん 100円 計 636円

セブンイレブン→雑誌 550円、雑誌 590円 フィボナッチ数列の計算量について 計 1140円

西友→アイスコーヒー 158円×2、ロールケーキ 97円、ミルキークイーン2kg 980円 フィボナッチ数列の計算量について 計 1393円

0、1、1、2、3、5、8、13、□、34、55

ず~っとこの繰り返しです。
(この先は55, 89, 144, 233, 377, 610, 987となります)

1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか?
この条件のもとで、つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることがわかる。

フィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量について
産まれたつがい 1か月目のつがい 2か月目以降のつがい つがいの数(合計)
0か月目 1 0 0 1
1か月目 0 1 0 1
2か月目 1 0 1 2
3か月目 1 1 13
4か月目 2 1 2 5
5か月目 3 2 3 8
6か月目 5 3 5 13
7か月目 8 5 8 21
8か月目 13 8 13 34
9か月目 21 13 21 55
10か月目 34 21 34 89
11か月目55 34 55 144
12か月目 89 55 89 233

フィボナッチ数列の計算量について
とりあえず、やれ!!

とりあえず、やれ!!

ただし、

は黄金比。

・黄金比
黄金比(おうごんひ、En:Golden フィボナッチ数列の計算量について ratio, The Golden Mean/Rectangle)(=PHI)は、最も美しいとされる比。近似値は1:1.618、約5:8。線分を a, bの長さで 2 つに分割するときに、a : b = b : (a + b) が成り立つように分割したときの比 a : b のことである。

隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比 φ に収束する。

フィボナッチ数列の計算量について
隣り合う2数の比 1/1 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 ・・・
2数の比の値1 2 1.5 1.666・・・ 1.6 1.625 1.615・・・ 1.619・・・ ・・・

1と1の比率は1/1=1
2と1の比率は2/1=2
3と2の比率は3/2=1.5
5と3の比率は5/3=1.666
8と5の比率は8/5=1.6
13と8の比率は13/8=1.625

FnとFn-1の比率はFn/Fn-1=x


■その他のフィボナッチ数の話題
・フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
・花びらの数はフィボナッチ数であることが多い。
・葉序(植物の葉の付き方)はフィボナッチ数と関連している。
・ヒマワリの種の数をらせんに沿って数えてゆくとフィボナッチ数があらわれる。
・蜜蜂の家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる。
・n 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の数は Fn+1 通りある。
・●と○を合わせて n 個並べる。●が2個以上続かないように一列に並べる方法は Fn+2 通りある。

花びらの枚数や動物の出生にも!自然界に潜むフィボナッチ数列の正体

横山 明日希 プロフィール

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【専門医がわかりやすく解説】心房細動の薬について

心房細動

心臓の病気として多くの人が患う「心房細動」について説明いたします。

今回は『心房細動の薬』についてです。

心房細動を患ったといわれる有名人は、小渕恵三元首相、プロ野球元監督の長嶋茂雄さん、サッカー日本代表元監督のイビチャ・オシムさんなど数多くおられます。

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インターネットには「心房細動」に対する数多くのホームページがありますが、私の経験から患者さんが疑問に思う点などを踏まえながら、患者さん目線に立って説明していきたいと思います。

心房細動の治療の種類

カテーテルアブレーション

外科的手術

心房細動の薬

心房細動の薬は主に三種類に分けられます。

抗血栓薬=血栓をできにくくすることで脳梗塞を防ぐ

リズムコントロール薬=心房細動を止めてリズムを正常化させるお薬

レートコントロール薬=心房細動は止められないが脈が速くなるのを予防する薬

心房細動の脳梗塞は、数ある脳梗塞の中でも最も激烈で、半身麻痺などの後遺症だけでなく死亡にまで至るケースがあり予防は必須です

これでわかる!数列のシグマΣの計算方法を徹底解説

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しかし、 $\sum$ の下で $n=〇$ と書いてしまうと $\sum$ の上の $n$ と混同してしまうので、 $\sum$ の下は $k=〇$ と書き、それに伴い、一般項の式も $n$ をすべて $k$ に変えて、 $S_n=\displaystyle \sum_^n a_k$ と書くようにしましょう。例えば、一般項が $a_n=1+n$ の数列の第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $\Sigma$ を用いて表す場合は $\displaystyle S_n=\sum_^(1+k)$ となります。この場合、括弧( )を忘れないようにしましょう。
さて、ここまでで、 $\Sigma$ の記号の意味は理解できたと思います。

数列$\$の一般項が$a_n$の場合、第〇項から第△項までの和は

$$\sum_^△ a_k$$

と表します。ここで$a_k$は$a_n$に$n=k$を代入したものです。

2 覚えるべき公式

2-1 等差数列の和

初項が$a$、公差が$d$、末項(最後の項)が$l$、項数が$n$であるような等差数列の和$S_n$を考えます。この和は次の公式によって与えられます。

と書くこともできます。
特に、初項が$1$、公差が$1$、末項が$n$であるような数列、$1,2,3,\dots ,n$の和$S_n$は

2-2 等比数列の和

次に等比数列の和を考えます。初項が$a$、公比$r$、項数$n$の等比数列の和$S_n$を考えます。
このとき公比$r$が$1$である場合とそうでない場合で公式が異なるので注意が必要です。
まずは$r\neq 1$である場合を考えます。

ここで気をつけるべきことは$r^n$の$n$は「項数」を表していることです。常に$n$である、ということではないので注意するようにしましょう。一方で、$r=1$である場合は

□例1□

2-3 累乗の和

大学入試で覚えるべき累乗の和の公式は自然数の$2$乗の和と$3$乗の和の公式です。まずは$2$乗の和の公式を説明します。
次のような和

1.等差数列の和

2.等比数列の和

3.数列の和の公式

3 $\Sigma$の性質(線形性)

4 $\Sigma$の公式を用いた数列の和の求め方

の2点です。
特に$\Sigma$の計算の際、分数$\displaystyle \left(\text \dfrac, \dfrac\right)$が出てくることが多いですが、それらはくくりだすようにしましょう。

□例4□$\displaystyle \sum_^k(k+2)フィボナッチ数列の計算量について $を求めます。この場合$k(k+2)$をまず展開します。そうでないと$\Sigma$の公式が使えないからです。ここで、$\Sigma$の公式は足し算引き算定数倍はOKですが掛け算割り算は駄目であることに十分注意が必要です。$k(k+2)=k^2+2k$なので、
\begin
\sum_^k(k+2)
=&\sum_^(k^2+2k)\\[5pt]
=&\sum_^k^2+2\sum_^k\\[5pt]
=&\dfracn(n+1)(2n+1)+2\cdot\dfracn(n+1)\\[5pt]
\mbox<ここで$\dfracn(n+1)$でくくって>
=&\dfracn(n+1)\\\[5pt]
=&\dfracn(n+1)(2n+7).
\end
このようにだいたいの場合は$\dfracn(n+1)$でくくりだす場合が多いです。

5 よく問われる数列の和

5-1 部分分数分解

この部分分数分解が苦手だ、という人がたまにいますが、メカニズムは至ってシンプルで、「すべての分数を分解する」だけです。いま、$\displaystyle \dfrac=\dfrac-\dfrac$と分解できるので(→詳細はあとで説明します)、
$$S=\left(\dfrac-\dfrac\right)+\left(\dfrac-\dfrac\right)+\cdots
+\left(\dfrac-\dfrac\right)$$
と書くことができます。これを
$$S=\dfrac+\left(-\dfrac+\dfrac\right)+\left(-\dfrac+\dfrac\right)+\cdots
+\left(-\dfrac+\dfrac\right)-\dfrac$$
とみれば、$ \dfrac$と$ \dfrac$以外の項はすべて消去されて、
$$S=\dfrac-\dfrac=\dfrac$$
と求めることができます。

■部分分数分解のメカニズム■

5-2 (等差数列)$\times$(等比数列)

これは係数部分に注目すると、$1,\ 3,\ 5,\dots,\ 2n-1$と等差数列になっており、また$x$の部分に注目すると$1,\ x,\ x^2,\dots,\ x^$となっています。このような数列の和を求める場合は$S$に等比数列の「公比」(この場合は$x$)を掛けた$xS$を$S$から引いた式、$S-xS$を考えるのがポイントです。一般にこのような数列の和を求める場合、$x=1$と$x\neq1$の場合に分けて考えることが必要なので、問題の条件を見落とさないように注意しましょう。では、実際に計算していきます。まずは$x\neq1$の場合を考えます。$S=1+3x+5x^2+\cdots+(2n-3)x^+(2n-1)x^$より

6 群数列

群数列とは数列の項を一定の規則に従ってブロック(=群)に分けてできる数列です。

そこで第$n$群の最初の数を$a_n$とおくと、
\begin
a_n
&=\sum_^k+1\\[5pt]
&=\dfrac(n-1)n+1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2-n+2)
\end
となります。ここで、シグマ$\Sigma$の上は$n$ではなく$n-1$であることに注意しましょう。もちろん、$\Sigma$を使わなくても何とか求めることは可能ですが、$\Sigma$を用いることで解答がすっきり見え、また公式を使うことで計算ミスも減らせるので、このように$\Sigma$が使える場合は積極的に使うようにしましょう。この第$n$群についてもう少し考察してみましょう。第$n$群の最後の数について考えて見ます。まず、群に分ける前の数列は初項が$1$、公差が$1$の等差数列です。第$n$群の最初の数が$a_n$であることと、第$n$群は$n$個の項で構成されているので、第$n$群の最後の数を$b_n$とすると、
\begin
b_n
&=a_n+(n-1)\times 1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2-n+2)+(n-1)\\[5pt]
&=\dfrac\\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n)\\[5pt]
&=\dfracn(n+1)
\end
となります。あるいは、第$n+1$群の最初の数が$a_$であることから
\begin
b_n
&=a_-1\\
&=\dfrac\-1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n+2)-1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n)\\[5pt]
&=\dfracn(n+1)
\end
と求めることも可能です。いずれにしても$b_n$の表し方は一通りです。ではこの群数列で、第$n$群にあるすべての自然数の和はどうなるのでしょうか。第$n$群は初項が$a_n$、末項が$b_n$、項数が$n$の等差数列とみることができるので、第$n$群にあるすべての自然数の和$S_n$は、
\begin
S_n
&=\dfracn(a_n+b_n)\\[5pt]
&=\dfracn\left\<\dfrac(n^2-n+2)+ \dfracn(n+1)\right\>\\[5pt]
&=\dfracn(2n^2+2)\\[5pt]
&=\dfracn(n^2+1)
\end
となります。このように、群数列は等差数列の和を求める公式を使っていろいろ求めることができるので、群数列が苦手!という人は、群数列には等差数列が隠れている、ということに注意してみましょう。

◇まとめ◇

7 おすすめの参考書

『数列 (モノグラフ 14)』

数列を完璧にしたいという人はこの本が最適です。その名の通り、数列に特化しています。扱っている問題のレベルは初歩レベルから最難関レベルまで様々です。教科書以上のレベルで難関大を受験したい人はこの本で学ぶと良いでしょう。

『荻島の数学II・Bが初歩からしっかり身につく「数列+ベクトル」』

教科書の説明がよくわからず数列が苦手だという人はこの本がぴったりです。扱っている問題のレベルは教科書の例題レベルのものがほとんどです。
問題を解く際に注意すべきポイントや試験で問われやすいポイントが的確に記されています。解説や途中式は丁寧ですが、さらにその式変形に多く説明が書かれているので、まずは教科書レベルの問題が解けるようになりたい人はこの本で勉強するとよいでしょう。

『数学B 高速トレーニング数列編』

この本はとにかく教科書の練習問題~章末問題レベルの問題が豊富です。計算ドリルのようにとにかく繰り返し問題を解いて計算力を向上させたい人はこの本がお薦めです。
ただ、レイアウトは少し見にくく、くせがあり、また解説もそれほど丁寧ではありません。一度も数列を勉強したことない人にはおすすめしません。また、この本には群数列についての問題が載っていないので、群数列についての問題を解きたい場合はこの本と同じシリーズの「漸化式・群数列編」を購入する必要があるので注意が必要です。

『理解しやすい数学II+B 新課程版』

この本は問題の種類が豊富です。よってどんなレベルの人でも取り組むことができます。どの参考書を買えばよいか迷った場合はこの本を買うとよいでしょう。基礎がまだできてない、教科書の問題がよくわからない場合は基本問題のみを、そうでない方はすべての問題に取り組むといいでしょう。
この本では問題を解く際にどの部分に着眼すべきか、公式をどのように使えばよいのかの説明が大変詳しいです。量は「チャート式」と同様にかなりあるので、独学ですべて勉強する場合は相当根性が必要になります。ゆえに、授業と並行して授業の補足として問題を取捨選択しながら用いるのがよいでしょう。特に授業の類題を解くといいでしょう。余談ですが、著者の藤田宏さんは世界的に超一流の数学者だった方です。

8 まとめ

数列の和を求める際、ほとんどの場合において$\Sigma$の公式を用います。公式を覚えるのはもちろんですが、それ以上に式をきっちりまとめる計算力が試験では問われます。特に共通テストなどのマークシートの試験ではそれが顕著です。どんなに途中式が合っていても最後の最後に計算を間違えれば0点です。

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究進塾 編集局 東京・池袋にある究進塾の編集局です。受験指導のプロが大学受験に役立つ情報をお届けしています。 大学受験対策コースはこちらからご覧いただけます。

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