【解いてみた】確率微分方程式入門 (逐次更新)
オルンシュタイン・ウーレンベック過程の共分散$C[U(t+s), U(t)] \, バイナリーオプションは確率論で闘う \, (s, t \geq 0)$を示せ.
オルンシュタイン・ウーレンベック過程を, $ W=W(バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う t) \, \, (t \geq 0) $ を標準ブラウン運動, $\mu, \sigma$を正の数としたとき,
$$
\begin
U(t) = e^ W( \frac < \sigma^e^ > ) バイナリーオプションは確率論で闘う
\end
$$
とする.
$$
\displaystyle lim_ \frac = 0 バイナリーオプションは確率論で闘う
$$
となることを示せ. この性質を, 大数の法則と云う.
$W(0) = W(1) = バイナリーオプションは確率論で闘う 0$を満たす$0 \leq t \leq 1$におけるブラウン運動をブラウン橋(Brown bridge)と云う.
(1) $W^(t) = W(t) - t W(1) \, \, (0 \leq t \leq 1)$
(バイナリーオプションは確率論で闘う 2) $W^(t) = (1-t)W(\frac) \, \, (0 \leq t \leq 1)$
は、それぞれブラウン橋であることを確かめよ.
また, $W^(バイナリーオプションは確率論で闘う t), W^(0)$の平均$E[W(t)]$と共分散$C[W^(t+s), W^(t)]$ (ただし, $0 \leq t \leq 1, 0 \leq t バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う + s \leq 1, k = 0, 1$を, それぞれ求めよ.
$$
X(t) = \mu t + \sigma W(t) \, \, (t \geq 0)
$$
を, ドリフトをもつブラウン運動と云う. $\mu バイナリーオプションは確率論で闘う t$をドリフト項と云う. このとき, $X(t)$の分布は, 平均$\mu t $, 分散$\sigma^2 t$の正規分布$N(\mu t, \sigma^2 t)$に従うことを示せ.
ドリフトをもつブラウン運動$(1.5)$に対して
(1) 共分散$C[X(t+s), X(t)]$
(2) 積率母関数$M_(s) = E[e^]$
2章 伊藤積分
- $f$が連続でなければ, 積分$\displaystyle \int_^ f(t)dg(t)$は, もはや存在しない場合がある. 例えば
のとき, リーマン積分$\displaystyle \int_^ f(t) dt$は存在しない. 理由を述べよ.
2. 部分和$(2.2)$において, $\xi_k = バイナリーオプションは確率論で闘う \frac (t_k + t_)$としたとき, すなわち, $\xi_k$を各小区間$[t_k, t_]$の中点としたとき, $n \to \infty$とすれば
$$ \displaystyle
\sum_^ W(\frac (t_k + t_)) (W(t_) - W(t_k)) \to \fracW(T)^2
$$
となることを示せ.
$部分和(2.2)$は$\displaystyle \sum_^ W(\xi_) (W(t_) - W(t_k))$とする.
3. 伊藤積分の定義により次を示せ.
$$\displaystyle \int_^ バイナリーオプションは確率論で闘う t dW(t) = TW(T) - \int_^ W(t) dt$$
4. 単関数$f, g$に対して, 等式
$$
E \bigl[ \bigl( \int_^ f(t) dW(t) \bigl) \bigl( \int_^ g(t) バイナリーオプションは確率論で闘う dW(t) \bigr) \bigr] = E \bigl[ \int_^ f(t) バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う g(t) dt \bigr]
$$
を示せ.
5. 次の等式を示せ.
(1) $\displaystyle \int_^ \sqrt dW(t)$
(2) バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う $\displaystyle \int_^ e^ dW(t)$
7. 確率的でない, すなわち, 決定論的である実数値連続微分可能な$f$に対して
3章 伊藤の公式
$X(t) = e^t + W(t)>$に対して$dX(t) = X(t) dW(t)$となることを確かめよ.
$X$が$\cal-$可測であるとき, ほとんどいたるところ $E[X|\cal]=X$となることを示せ.
一次元対称ランダムウォーク$S_n (n=0, 1, 2, \cdots)$に対して, 例題3.19で定めたフィルトレーション$\cal_n$に関してマルチンゲールであることを示せ.
対数正規過程$X(t) = e^$ ($\sigma$は正の数, 式$(1.3)$参照)に対して, $dX(t)$を求めよ.
正の数$\alpha, \sigma$に対して, 確率過程
$$dX(t) = - \alpha X(t) dt + \sigma dW(t), \, \, X(0) = 0 \hspace (3.4)$$
を満たすことを確かめよ. 式$(3.4)$をランジュバン(Langevin)方程式と云う.
$$
dX(t) = \alpha X(t)dt + \sigma dW(t)
$$
を満たすとする. ただし, $\alpha, \sigma$は定数である. このとき
(1) $Z_(t) = X(t)^2$
(2) $Z_(t) = \frac$
に対して, それぞれ$\ dZ_(t), dZ_(t) \ $を求めよ.
- 次の確率過程はマルチンゲールであることを, マルチンゲール表現定理を用いて示せ.
- 任意の$\alpha \in \mathbb$に対して
$$
Z(t) = exp \bigl[-\frac \alpha^2 t - \alpha W(t) \bigr]
$$
はマルチンゲールであることを示せ.
4章 確率微分方程式
$dW(t) = dW(t)$の場合に, 式$(4.7)$を直接計算せよ. ただし, $W(t)$は標準ブラウン運動とする.
一般の初期値のランジュバン方程式, すなわち
$$dX(t) = - \alpha X(t) dt + \sigma dW(t), \, \, \, \, X(0) = X_ (\in \mathbb) バイナリーオプションは確率論で闘う $$
に対して($\alpha$と$\sigma$は正の数)
$$(1) E[X(t)] , \hspace (2) C[X(t+s), X(t)], \hspace (3) $V[X(t)]$$
をそれぞれ求めよ.
確率過程$X(t)$は, 確率微分方程式
$$
dX(t) バイナリーオプションは確率論で闘う = - \alpha X(t) dt + \sigma dW(t)
$$
の解であるとする. ただし, $\alpha, \, \sigma$は正の数とする. このとき, $Y(t) = X(t)^2$は, 確率微分方程式
$$
dY(t) = (バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う \sigma^2 - 2 \alpha Y(t)) dt + 2 \sigma \sqrtdW(t)
$$
を満たすことを示せ.
5章 数理ファイナンスへの応用
満期日$T$において, 価格変動するある金融資産$S = S(バイナリーオプションは確率論で闘う t)$の1単位を$K$円で売却する. という先渡し契約を結んだ. この先渡し契約のペイオフ関数を図示せよ.
オプション契約で, 売る権利のことをプットオプション(put option)という. 満期日$T$において, 価格変動するある金融資産$S = S(t)$の1単位をK円で売却する. というオプション契約を結んだ. このプットオプション契約のペイオフ関数を求めて図示せよ.
BSMモデルにおいて, 満期日$T, バイナリーオプションは確率論で闘う $行使価格$K$のヨーロッパ型プットオプション$\ P(t, S) \, \, (0 \leq t バイナリーオプションは確率論で闘う \leq T) \, \, $の価格評価式を求めよ.
ブラック・ショールズ評価公式において, $t \to T$としたときの極限は満期日でのペイオフ関数に等しいこと, すなわち
$$
\displaystyle lim_ (S(t) \phi(d1) - K e^ \phi(d_2)) = max \< S(T) - K, \ 0 \>
$$
であることを確かめよ.
ブラック・ショールズ評価公式において, それぞれ, 株価$S$, 満期日$T \ $までの残り期間$T - t$, 行使価格$K$, 無リスク利子率 $r \ $, ボラティリティ $\sigma \ $ に関する変化率を総じてグリークス(Greeks)と云う. 以下のデルタ以外のGreeksを, それぞれ求めよ.
- 1期間二項モデルにおいて, 満期$t=1$での行使価格が4のプットオプションに対して, $t=0$における価格を計算せよ. また, 複製ポートフォリオを求めよ.
解いてみた
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2/16開始のSTEPN収支公開
STEPN
総投資205万円
回収73万円
残り132万円
なので、それを考えると残り105万円を回収する必要があるということですね。
2月に20万円1足から開始
4月に追加投資①100万円 ：総投資120万円
5月に回収①35万円
5月に回収②22万円 ：総回収57万円
5月に追加投資② 28万円 ：総投資148万円
6月に回収③16万円 ：総回収73万円
6月に追加投資③ 28万円 ：総投資176万円
6 月に追加投資 ④ 16万円 バイナリーオプションは確率論で闘う ：総投資192万円
6 月に追加投資 ⑤ 13万円 ：総投資205万円
ウォレット内：60SOL＝約27万円
ソラナ側
・コモン6足＝約13万5000円
・アンコモン1足＝約7万8000円
バイナンス側
・コモン3足＝約9万3000円
・アンコモン1足＝12万円
・各種ジェム＝11万8000円
-50万6000円
ということになります。
4ヶ月プレーして－50万円。
初期投資は
バイナリーオプションは確率論で闘う ・なるべく抑えて最速で原資回収を狙う。
・それか限界の8割ぐらいの資金量を一気に突っ込む。
続ける中で靴の数を調整する時は
・下落局面ではすぐに売却して、そこから再購入までは期間を空ける。
・上昇局面ではすぐに購入して、売却までは時間を空ける。
この原則に従えば靴の売買でも利益が出ます。
・今まで情報を追ってきてまだSTEPNは続く確率は高いと判断している⇒昨日のTwitterのスペースで運営がデイリーアクティブユーザー数は増えていると言っていた。
・前回の記事で書いた好ファンダの可能性があること。
・Mintスクロール導入により靴の供給が減っている(運営も一時的に減ると言っていた)→これから好ファンダで新規が入ってくることがあれば値上がりも期待出来る。
・中国撤退による投げ売りが起きている⇒投げ売りが終われば靴の供給が足りなくなる可能性あり。
・値上がりし始めたら戻ってくる人もいる＝さらに値上がりに繋がる。
・とりあえず走るだけで8000円入ってくるだけでも相当利益。
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(Liquidは特典なし)
説明は割愛しますが、少し面倒でも3つとも開設しておいた方が後々で楽だと思います！
2/16開始のSTEPN収支公開
STEPN
総投資205万円
回収73万円
残り132万円
なので、それを考えると残り105万円を回収する必要があるということですね。
2月に20万円1足から開始
4月に追加投資①100万円 ：総投資120万円
5月に回収①35万円
5月に回収②22万円 ：総回収57万円
5月に追加投資② 28万円 ：総投資148万円
6月に回収③16万円 ：総回収73万円
6月に追加投資③ 28万円 ：総投資176万円
6 月に追加投資 ④ 16万円 ：総投資192万円
6 月に追加投資 ⑤ 13万円 ：総投資205万円
ウォレット内：60SOL＝約27万円
ソラナ側
・コモン6足＝約13万5000円
・アンコモン1足＝約7万8000円
バイナンス側
・コモン3足＝約9万3000円
・アンコモン1足＝12万円
・各種ジェム＝11万8000円
-50万6000円
ということになります。
4ヶ月プレーして－50万円。
初期投資は
・なるべく抑えて最速で原資回収を狙う。
・それか限界の8割ぐらいの資金量を一気に突っ込む。
続ける中で靴の数を調整する時は バイナリーオプションは確率論で闘う
・下落局面ではすぐに売却して、そこから再購入までは期間を空ける。
・上昇局面ではすぐに購入して、売却までは時間を空ける。
この原則に従えば靴の売買でも利益が出ます。
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・前回の記事で書いた好ファンダの可能性があること。
・Mintスクロール導入により靴の供給が減っている(運営も一時的に減ると言っていた)→これから好ファンダで新規が入ってくることがあれば値上がりも期待出来る。
・中国撤退による投げ売りが起きている⇒投げ売りが終われば靴の供給が足りなくなる可能性あり。
・値上がりし始めたら戻ってくる人もいる＝さらに値上がりに繋がる。
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バイナリーオプションは確率論で闘う
二項分布 \(B(n,p)\) の確率計算をしてみよう． 確率 \(p=0.3\) で成功する試行を \(n=10\) 回行いちょうど 2 回成功する確率 \(f(2)=P(バイナリーオプションは確率論で闘う X=2)\) は， dbinom 関数を用いて次のように計算できる．
成功が5回以下である確率 \(F(5)=P(X バイナリーオプションは確率論で闘う \leq 5)\) は以下のようにする．
この2つの関数名はよく似ている． 実際，1文字目の d は確率関数， p は累積分布関数を意味し， binom は二項分布（Binomial Distribution）を意味する．
同様に，他の離散分布についても確率計算が可能である． d や p と分布名を組み合わせた関数を用いる．
- 二項分布 \(B(n,p)\) : binom
- 幾何分布 \(G(p)\) : geom
- ポアソン分布 \(\mathrm(\lambda)\) : pois
xx に 0 から 10 までの整数値を入れておき， 横軸をそれらの値で動かして dbinom 関数で確率を次々計算して plot 関数でグラフにしている． type="h" で線のグラフにしている．
連続分布についても同様である． d が確率密度関数， p が累積分布関数を意味する．
例えば，標準正規分布 \(N(0,1)\) で 1.96 以下の確率 \(\Phi(1.96)=P(X \leq 1.96)\) は以下のように求められる．
norm が正規分布に対応している． あるいは，平均50，標準偏差10の正規分布 \(バイナリーオプションは確率論で闘う バイナリーオプションは確率論で闘う N(50,10^2)\) で70以上の確率 \(P(X \geq バイナリーオプションは確率論で闘う 70)=1-F(70)\) は以下のように求められる．
lower.tail=FALSE を指定することにより上側確率が求まる． このオプションは離散分布でも使用可能であるが， 「 \(\leq\) 」ではなく「 \(
また， q で累積分布関数の逆関数を計算できる （すなわち，下側確率を指定して，確率変数の値を逆算できる）． 例えば，平均50，標準偏差10の正規分布 \(N(50,10^2)\) で，下側確率が0.10となる点は以下のように求める．
2/16開始のSTEPN収支公開
STEPN
総投資205万円
回収73万円
残り132万円
なので、それを考えると残り105万円を回収する必要があるということですね。
2月に20万円1足から開始
4月に追加投資①100万円 ：総投資120万円
5月に回収①35万円
5月に回収②22万円 ：総回収57万円
5月に追加投資② 28万円 ：総投資148万円
6月に回収③16万円 ：総回収73万円
6月に追加投資③ 28万円 ：総投資176万円
6 月に追加投資 ④ 16万円 ：総投資192万円
6 月に追加投資 ⑤ 13万円 ：総投資205万円
ウォレット内：60SOL＝約27万円
ソラナ側
・コモン6足＝約13万5000円
・アンコモン1足＝約7万8000円
バイナンス側
・コモン3足＝約9万3000円
・アンコモン1足＝12万円
・各種ジェム＝11万8000円
-50万6000円
ということになります。
4ヶ月プレーして－50万円。
初期投資は
・なるべく抑えて最速で原資回収を狙う。 バイナリーオプションは確率論で闘う
・それか限界の8割ぐらいの資金量を一気に突っ込む。
続ける中で靴の数を調整する時は
・下落局面ではすぐに売却して、そこから再購入までは期間を空ける。
・上昇局面ではすぐに購入して、売却までは時間を空ける。
この原則に従えば靴の売買でも利益が出ます。
・今まで情報を追ってきてまだSTEPNは続く確率は高いと判断している⇒昨日のTwitterのスペースで運営がデイリーアクティブユーザー数は増えていると言っていた。
・前回の記事で書いた好ファンダの可能性があること。
・Mintスクロール導入により靴の供給が減っている(運営も一時的に減ると言っていた)→これから好ファンダで新規が入ってくることがあれば値上がりも期待出来る。
・中国撤退による投げ売りが起きている⇒投げ売りが終われば靴の供給が足りなくなる可能性あり。
・値上がりし始めたら戻ってくる人もいる＝さらに値上がりに繋がる。
・とりあえず走るだけで8000円入ってくるだけでも相当利益。
もし今回の記事で始めようかなって思う方は、バイナンス、Liquid、Bybitの口座開設をしていくことになるので、以下のリンクから登録して頂けると 僕にも少しリターンがあるのと 通常で登録するよりお得なので是非どうぞ！
(Liquidは特典なし)
説明は割愛しますが、少し面倒でも3つとも開設しておいた方が後々で楽だと思います！
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